山东大学2013-2014学年上学期高等数学（一）试卷一、填空题（共5小题，每题4分，共20分）。1+ln(1-2x),x≤01、设函数f(x)=在x=0处连续，则a=3+ae,x>02、过点(1,2)，且切线斜率为2x的曲线方程为3、极限Iim4、设y=yx)油方程e”-x+y3=0确定，则y=二、计算题（共6小题，每题10分，共60分）6、x→08、(10分)设)=+2，求函数（的单调区间，极值，曲线y=fx的凹凸性、拐点9、(10分)求解微分方程y"-2y+y=4xe.1010分)x11、(10分)设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(O)=0,f"(x)>0并且在曲线y=f(x)上任意一点(x,(≠0)作此曲线的切线，此切线在轴上的截距记为，求im四三、证明题（共2小题，每题10分，共20分）12、(10分)设函数f(x,g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0.证明存在一点5∈[a,b小，使13、(10分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=fb)=L,试证：存在5，n∈(a,b),使e"-[f()+f(の]=1。高数期末考试A卷答案填空题（共5小题，每题4分）：1.22.y=x2+14.1-ye二、计算（共6小题，每题10分）：7解：此极限为型，又是变限积分，应采用洛必达法则，为了对球导，应先将积分号里的x变换到上、下限中或提出积分号外.f(-dif(X-d)-fu(从而x-flim=lim=limx-0(→0至此不能再用洛必达法则了，因为未设f(x)在x=0的邻域内可导，改为考虑：2x-0所以原式-lim8.解：为求单调区间和极值，应求出y及驻点（以及导数不存在的点）.为求凹凸性和拐点，应求出y"及y”=0的点最后用列表的办法可以较简洁地说明问题.无穷间断点也引入-2,0000y=f(x)单调凹拐点单调凸单调凹极小值点单调凹拐点坐标(-迈，0小，极小值是39、对应齐次方程的特征方程为r2-2r+1=0或(r-1)}=0,对应齐次方程的通解为下面求特解y:fx)=4xe,设y'=x2(Ax+B)e"=(Ax'+Bx2)e",代入原方程整理得(6Ar+2B)e=4xe.