曲靖师范学院2021至2022学年第1学期末测试题《线性代数》说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，a表示向量a的转置，E表示单位矩阵，det(A)表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，R(A)表示矩阵A的秩，‖aI表示a的长度.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若矩阵A满足A25A=E,则矩阵(A5E)1=A.A-5EB.A+5EC.AD.-A2.设矩阵A是2阶方阵，且det(A=3,则det(5A)=A.3B.15C.25D.753.设矩阵A,B,X为同阶方阵，且A,B可逆，若AX-E)B=B,则矩阵X=A.E+A-C.E+B-1D.E+B4.设矩阵A1,A2均为可逆方阵，则以下结论正确的是A可逆，且其逆为不可逆C可逆，且其逆为AD可逆，且其逆为A5.设a1,a2,…,是n维列向量，则a1,a2,线性无关的充分必要条件是A.向量组α1，a2,…,以中任意两个向量线性无关C.向量组1，，…，ak中存在一个向量不能由其余向量线性表示D.向量组a1,a2,…,k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示6.设a=(a1,a,a),B(b1,b2,b3,其中a1,a,a不全为0，且b1,b2,b3不全为0，则aTB的秩为A.0D.317.设矩阵A=则与矩阵A相似的矩阵是8设三阶方阵A的特征值分别为3，则A的特征值为111243c.D2,4,3A.212B.012221001[1127D2221112210.以下关于正定矩阵叙述正确的是A.正定矩阵的特征值一定大于零B.正定矩阵的行列式一定小于零C.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵D.正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.设deA)=-l,deB)=2,且A,B为同阶方阵，则det((AB)3)=12.设方阵A满足Ak=E,这里k为正整数，则矩阵A的逆A1=13.设方阵A的行列式为5，P为可逆矩阵，则det(P-1AP)=14.设a=(1,0,1),a=(1,1,1),a3=(0,-1,-1)则-11a+14a2+9a=15.实数向量空间V={(x,,)x+2y+5z=0}的维数是2-216.设3阶矩阵A=B为3阶非零矩阵，且AB=0,则=3-117.设a是齐次线性方程组Ax=0的解，而B是非齐次线性方程组Ax=b的解，则A(3a+22B)=18.设方阵A有一个特征值为-8，则det(8E+A)19.设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则Px=三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）-1-1421.计算行列式246124222.求矩阵A=101的逆矩阵11023.设向量组a1=(3,1,2,0),a=0,7,1,3),Q=(-1,2,0,1),a=(6,9,4,3),求其一个最大无关组，并将其余向量通过该最大无关组表示出来x-2+2x+x4=024.求齐次线性方程组2x+2--x4=0的基础解系及其结构解x+x2+3x=0[-1425.设三阶矩阵A=253求矩阵A的特征值和特征向量.26.令x1,x2,X)上=5x+6x号+4x-4x5-4xx,写出该二次型对应的矩阵，并判断该二次型是否正定。四、证明题（本大题共1小题，6分）27.设方阵A满足A-0,对某个正整数k成立.证明：A的特征值一定为0.