2009-2010学年第二学期高等数学试题(4)参考答案一、填空题（每小题4分，共20分）1.1-2。23。二、选择题（每小题4分，共20分）1.(A)2.(C)3.(B)4.B)5.D)三、计算、证明题（每小题10分，共60分）=x2,所以由比值法知2n-1当2<1即K1时，级数收敛：当x2>1即1时，级数发散。于是可知幂级数的收敛半径R=1,即收敛区间为(-1,1)。当x=士时，级数4.(x)为交错级数，由莱布尼兹定理知级数收敛，故幂级数的收敛域为-1，刂故S(x)=xS,(x)=xarctanx,,x∈[-l,l刂2.解：设球面∑：x2+y2+(2-3)=R2,其中00为半径的小球面Σ（取外侧为正侧）取ε>0充分小，使∑。在椭球面∑：2x2+2y2+z2=4之内，记∑为内测，且由曲面∑，与曲面∑所围的区域记为2，小球面Σ，围成的球体记为2，则1=3x2aP(x2+y2+z213y2R=_13z2dx'oy'd5.解：曲面z=x2+y2+1在点(1，-1,3)处的法向量为{2，-2，-1}，切平面方程为z=2x-2y-l,切平面与曲面z=x2+y的交线{仁二在xoy平面上的投影为回，其所围区域记为D,lim=lim当f(0)≠0时(2)解方程3分得驻点(0,0)，(a,a)=3ay-3y2=0…3分…共6分于是在点(0,0)处有A=0,B=3a,C=0,AC-B2=-9a2<0故(0,0)不是函数的极值点。又在点(a,a)处有A=-6a,B=3a,C=-6a,AC-B2=27a2>0又A=-6a<0,故所给函数在(a,a)处有极大值Zr=a3…4分…共10分